Fluid Mechanics 101
                     ASkeleton Guide
                         J. E. Shepherd
                   Aeronautics and Mechanical Engineering
                     California Institute of Technology
                       Pasadena, CA USA 91125
                   1995-present - Revised December 16, 2007
         Foreword
         This is guide is intended for students in Ae101 “Fluid Mechanics”, the class on the fundamentals of fluid
         mechanics that all first year graduate students take in Aeronautics and Mechanical Engineering at Caltech.
         It contains all the essential formulas grouped into sections roughly corresponding to the order in which the
         material is taught when I give the course (I have done this now five times beginning in 1995). This is not a
         text book on the subject or even a set of lecture notes. The document is incomplete as description of fluid
         mechanics and entire subject areas such as free surface flows, buoyancy, turbulent flows, etc., are missing
         (some of these elements are in Brad Sturtevant’s class notes which cover much of the same ground but are
         more expository). It is simply a collection of what I view as essential formulas for most of the class. The
         need for this typeset formulary grew out of my poor chalk board work and the many mistakes that happen
         when I lecture. Several generations of students have chased the errors out but please bring any that remain
         to my attention.
         JES December 16, 2007
                   Contents
                   1 Fundamentals                                                                                                          1
                       1.1   Control Volume Statements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .            1
                       1.2   Reynolds Transport Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .             2
                       1.3   Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         2
                             1.3.1   Simple Control Volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .           3
                             1.3.2   Steady Momentum Balance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .              3
                       1.4   Vector Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        3
                             1.4.1   Vector Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        3
                             1.4.2   Curvilinear Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .          3
                             1.4.3   Gauss’ Divergence Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .            4
                             1.4.4   Stokes’ Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .          4
                             1.4.5   Div, Grad and Curl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .           4
                             1.4.6   Specific Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .          5
                       1.5   Differential Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        5
                             1.5.1   Conservation form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .          5
                       1.6   Convective Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .          6
                       1.7   Divergence of Viscous Stress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         7
                       1.8   Euler Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        7
                       1.9   Bernoulli Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         7
                       1.10 Vorticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       8
                       1.11 Dimensional Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .          9
                   2 Thermodynamics                                                                                                       11
                       2.1   Thermodynamic potentials and fundamental relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .               11
                       2.2   Maxwell relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      11
                       2.3   Various defined quantities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        12
                       2.4   v(P,s) relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      13
                       2.5   Equation of State Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         13
                   3 Compressible Flow                                                                                                    15
                       3.1   Steady Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      15
                             3.1.1   Streamlines and Total Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         15
                       3.2   Quasi-One Dimensional Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .           15
                             3.2.1   Isentropic Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      16
                       3.3   Heat and Friction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      18
                             3.3.1   Fanno Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       18
                             3.3.2   Rayleigh Flow      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   18
                       3.4   Shock Jump Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .          19
                             3.4.1   Lab frame (moving shock) versions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .          19
                       3.5   Perfect Gas Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      20
                       3.6   Reflected Shock Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         20
                       3.7   Detonation Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         22
                       3.8   Perfect-Gas, 2-γ Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       22
                             3.8.1   2-γ Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     23
                             3.8.2   High-Explosives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      23
                       3.9   Weak shock waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         25
                       3.10 Acoustics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       26
                       3.11 Multipole Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         27
                       3.12 Baffled (surface) source        . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   28
                       3.13 1-D Unsteady Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         29
                       3.14 2-D Steady Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         31
                             3.14.1 Oblique Shock Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .           31
                                                                                i
                             3.14.2 Weak Oblique Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         31
                             3.14.3 Prandtl-Meyer Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .          32
                             3.14.4 Inviscid Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      32
                             3.14.5 Potential Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       32
                             3.14.6 Natural Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        33
                             3.14.7 Method of Characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        33
                   4 Incompressible, Inviscid Flow                                                                                       34
                       4.1   Velocity Field Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        34
                       4.2   Solutions of Laplace’s Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       34
                       4.3   Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       35
                       4.4   Streamfunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      35
                             4.4.1   2-D Cartesian Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       36
                             4.4.2   Cylindrical Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       37
                             4.4.3   Spherical Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       38
                       4.5   Simple Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      38
                       4.6   Vorticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   40
                       4.7   Key Ideas about Vorticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       41
                       4.8   Unsteady Potential Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       42
                       4.9   Complex Variable Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .          42
                             4.9.1   Mapping Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         44
                       4.10 Airfoil Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     44
                       4.11 Thin-Wing Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         45
                             4.11.1 Thickness Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       46
                             4.11.2 Camber Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        48
                       4.12 Axisymmetric Slender Bodies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .          49
                       4.13 Wing Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        50
                   5 Viscous Flow                                                                                                        52
                       5.1   Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   52
                       5.2   Two-Dimensional Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        53
                       5.3   Parallel Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     53
                             5.3.1   Steady Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      54
                             5.3.2   Poiseuille Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     56
                             5.3.3   Rayleigh Problem       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  57
                       5.4   Boundary Layers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       57
                             5.4.1   Blasius Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      59
                             5.4.2   Falkner-Skan Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       59
                       5.5   K´arm´an Integral Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     60
                       5.6   Thwaites’ Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        60
                       5.7   Laminar Separation       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  61
                       5.8   Compressible Boundary Layers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .          61
                             5.8.1   Transformations and Approximations           . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  61
                             5.8.2   Energy Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       62
                             5.8.3   Moving Shock Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        64
                             5.8.4   Weak Shock Wave Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .           64
                       5.9   Creeping Flow      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  66
                   A Famous Numbers                                                                                                      69
                   B Books on Fluid Mechanics                                                                                            71
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