Cedar Crest College
                     Calculus IV
                    Lecture Notes
          Author:                E-Mail Address:
          James Hammer      jmhammer@cedarcrest.edu
                       July 4, 2015
         Preface
       This is meant as a teaching aid. It can be freely distributed and
                                A
       edited in any way. For a copy of the LT X document, please email
                                 E
       the author. These notes are adapted from James Stewart’s Calculus:
       Early Transcendentals Eighth Edition.
                             ii
                Contents
                12 Vectors and the Geometry of Space                                                                 1
                    12.1 Operations in 3-Space       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     1
                          12.1.1 Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        1
                          12.1.2 Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       2
                          12.1.3 Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        3
                    12.2 Equations in 3-Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .          5
                    12.3 Cylinders and Quadric Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .            7
                13 Vector Functions                                                                                 11
                    13.1 Vector Functions and Space Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .            11
                    13.2 Derivatives and Integrals of Vector Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . .          14
                          13.2.1 Derivatives     . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    14
                          13.2.2 Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      15
                    13.3 Arc Length and Curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .           16
                          13.3.1 Arc Length . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         16
                          13.3.2 Curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        17
                          13.3.3 Normal and Bi-normal Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .           18
                    13.4 Motion in Space, Velocity, and Acceleration          . . . . . . . . . . . . . . . . . .   20
                14 Partial Derivatives                                                                              21
                    14.1 Functions of Several Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         21
                          14.1.1 Domain and Range . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .           21
                          14.1.2 Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       22
                          14.1.3 Level Curves      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    23
                    14.2 Limits and Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .          24
                    14.3 Partial Derivatives     . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    27
                          14.3.1 First Order Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        27
                          14.3.2 Higher Order Partial Derivatives        . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    28
                    14.4 Tangent Planes & Linear Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .              29
                    14.5 Chain Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         31
                          14.5.1 Chain Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         31
                          14.5.2 Implicit Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        33
                    14.6 Directional Derivatives & Gradient Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . .            34
                    14.7 Maximum & Minimum Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .               36
                          14.7.1 Local Extrema       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    36
                                                                  iii
                         14.7.2 Absolute Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      38
                   14.8 Lagrange Multipliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      39
                15 Multiple Integrals                                                                          41
                   15.1 Double Integrals over a Rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       41
                         15.1.1 Volumes as Double Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       41
                   15.2 Iterated Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    43
                   15.3 Double Integrals over General Regions        . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  46
                         15.3.1 Type 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    46
                         15.3.2 Type 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    46
                   15.10Change of Variables in Multiple Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       49
                   15.4 Double Integrals in Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       51
                         15.4.1 Crash Course in Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         51
                         15.4.2 Double Integrals with Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . .         53
                   15.7 Triple Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    58
                   15.8 Triple Integrals in Cylindrical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       59
                   15.9 Triple Integrals in Spherical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       61
                16 Vector Calculus                                                                             65
                   16.1 Vector Fields     . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
                   16.2 Line Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    68
                         16.2.1 Line Integrals in the Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     68
                         16.2.2 Line Integrals in Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     71
                         16.2.3 Line Integrals of Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     72
                   16.3 The Fundamental Theorem of Line Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . .           73
                   16.4 Green’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       77
                   16.5 Curl and Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       80
                         16.5.1 Curl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    80
                         16.5.2 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    82
                         16.5.3 Vector Forms of Green’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         83
                   16.6 Parametric Surfaces and Their Areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         84
                         16.6.1 Parametric Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     84
                         16.6.2 Surface of Revolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     86
                         16.6.3 Tangent Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      86
                         16.6.4 Surface Area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    87
                   16.7 Surface Integrals    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  88
                   16.8 Stokes’ Theorem      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  90
                                                                iv