Derivatives, Integrals, and Properties
                                    Of Inverse Trigonometric Functions and Hyperbolic Functions
                              (On this handout, a represents a constant, u and x represent variable quantities)
                Derivatives of Inverse Trigonometric Functions                             Identities for Hyperbolic Functions
                 d     ¡1           p 1       du                                            sinh2x = 2sinhxcoshx
                dxsin     u    =      1¡u2dx           (juj < 1)
                                                                                                                2          2
                 d                     ¡1     du                                           cosh2x = cosh x+sinh x
                       ¡1           p
                dxcos      u =        1¡u2dx           (juj < 1)
                                                                                                2          cosh2x+1
                 d                     1    du                                             cosh x =              2
                        ¡1
                    tan    u =            2
                dx                  1+u dx                                                                 cosh2x¡1
                                                                                                2
                 d                       ¡1      du                                         sinh x =             2
                    csc¡1u     =       p               (juj > 1)
                dx                  juj  u2 ¡1dx
                                                                                                2          2
                 d                        1      du                                        cosh x¡sinh x =1
                    sec¡1u     =       p               (juj > 1)
                dx                  juj  u2 ¡1dx                                                2                    2
                                                                                           tanh x = 1¡ sech x
                 d cot¡1u      =      ¡1 du                                                     2                    2
                                          2                                                coth x = 1+ csch x
                dx                  1+u dx
                 Integrals Involving Inverse Trigonometric Functions                       Derivatives of Hyperbolic Functions
           Z p 1                          ¡1³u´                            2     2          d                        du
                  2     2 du      = sin        a +C          (Valid for u < a )                sinhu     = coshu
           Z     a ¡u                           ³ ´                                        dx                        dx
                  1     du        = 1tan¡1 u +C (Valid for all u)                           d                       du
                2     2                                                                        coshu     = sinhu
               a +u                    a          a                                        dx                       dx
           Z        1                  1       ¯u¯
                p                           ¡1¯ ¯                          2     2          d                         du
                    2     2 du    = asec ¯a¯+C               (Valid for u > a )                tanhu =        sech2u
               u u ¡a                                                                      dx                         dx
                                                                                            d                        2 du
                                                                                           dx cothu      = ¡csch udx
                      The Six Basic Hyperbolic Functions
                                                                                            d sechu      = ¡sechutanhudu
                      sinhx     = ex¡e¡x                                                   dx                                  dx
                                         2                                                  d                                 du
                                     ex +e¡x                                               dx cschu      = ¡cschucothudx
                      coshx     =        2
                                                 x     ¡x
                      tanhx = sinhx = e ¡e                                                     Inverse Hyperbolic Identities
                                                 x     ¡x
                                     coshx      e +e
                                        1           2                                               ¡1               ¡1µ1¶
                       cschx    =            = x       ¡x                                       sech   x = cosh            x
                                     sinhx      e ¡e                                                                    µ ¶
                       sechx    =       1    =       2                                              ¡1               ¡1    1
                                                 x     ¡x                                       csch   x = sinh
                                     coshx      e +e                                                                      x
                                                 x     ¡x                                                                µ ¶
                                     coshx      e +e                                                ¡1               ¡1    1
                      cothx     =            = x       ¡x                                      coth    x = tanh
                                     sinhx      e ¡e                                                                       x
                 Integrals of Hyperbolic Functions            Integrals Involving Inverse Hyperbolic Functions
               Z                                         Z p 1                 ¡1³u´
                 sinhudu        = coshu+C                           du   = sinh       +C       (a > 0)
                                                              2   2                a
                                                             a +u
               Z coshudu        = sinhu+C                Z p 1      du   = cosh¡1³u´+C         (u > a > 0)
                                                              2   2                a
               Z                                             u ¡a           8          ³ ´
                                                                            > 1     ¡1 u            2   2
                     2                                                      > tanh         +C (ifu 
                                                         Z                  > a         a
               Z                                            2 1  2 du    = < 1      ¡1³u´
                                                           a ¡u             >                       2   2
                     2                                                      > coth         +C (ifu >a )
                  csch udu      = ¡cothu+C                                  >
                                                                            > a         a
               Z                                         Z   p 1            :1     ¡1³u´
                  sechutanhudu = ¡sechu+C                      2   2 du  = ¡a sech     a +C (0 1)
            dx               u2 ¡1dx
                                                              ¡1       1  1+x
            d     ¡1         1   du                       tanh  x = 2ln1¡x              (jxj < 1)
              tanh  u =        2        (juj < 1)
            dx             1¡u dx                                       Ã    p      !
            d                 ¡1    du                        ¡1          1+ 1¡x2
                  ¡1         p                             sech x = ln                  (0 < x · 1)
            dx csch u  = juj 1+u2dx (u6=0)                                    x
            d                 ¡1   du                                   Ã     p     2!
                  ¡1        p                                 ¡1          1    1+x
            dx sech u  =          2 dx  (0 < u < 1)        csch x = ln x+ jxj           (x 6= 0)
                           u 1¡u
            d     ¡1         1   du                          ¡1        1  x+1
              coth  u =        2        (juj > 1)         coth  x =     ln              (jxj > 1)
            dx             1¡u dx                                      2  x¡1
                                       Alternate Form For Integrals Involving
                                           Inverse Hyperbolic Functions
                                  Z p 1                    p 2    2
                                       2   2 du   = ln(u+ u §a )+C
                                  Z   u §a                ¯    ¯
                                       1              1   ¯a+u¯
                                           du     =     ln¯    ¯ +C
                                    a2 ¡u2           2a   ¯a¡u¯
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                                     p 1      du = ¡1ln a+ a §u          +C
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